CRAN 任务视图：极值分析

极值建模和估计是各个应用领域的重要挑战，例如环境、水文、金融、精算科学，仅举几例。限制对极值分析的关注可能是合理的，因为样本的极值部分可能非常重要。也就是说，它可能表现出更大的风险潜力，例如上述四个主题中分别出现的空气污染物浓度高、洪水、极端索赔规模、价格冲击。极值的统计分析可能分散在许多软件包中，具体取决于应用主题。在本任务视图中，我们从方法论的角度介绍这些软件包。

极值理论的应用可以在其他任务视图中找到：在 Finance 任务视图中用于金融和精算分析，在 Environmetrics 任务视图中用于环境分析。概率分布的通用实现将在 Distributions 任务视图中进行研究。

维护者感谢 L. Belzile、E. Gilleland、P. Northrop、T. Opitz、M. Ribatet 和 A. Stephenson 对其评论文章的贡献，感谢 Kevin Jaunatre 的宝贵建议，以及 Achim Zeileis 的有用评论。如果您认为信息不准确，或者我们遗漏了某个软件包或应该在此处提及的重要信息，请发送电子邮件或在上面链接的 GitHub 存储库中提交问题或拉取请求。

目录

• 单变量极值理论
  • 贝叶斯方法
  • 块最大值方法
  • 极值指数估计方法
  • 混合分布或复合分布方法
  • GPD 方法的峰值超越阈值
  • 记录模型
  • 回归模型
  • 阈值选择
• 双变量极值理论
  • Copula 方法
  • 最大值方法
  • GPD 方法的峰值超越阈值
  • 尾部相关系数方法
• 多元极值理论
  • 贝叶斯方法
  • Copula 方法
  • 多元最大值
  • GPD 方法的峰值超越阈值
  • 尾部相关系数方法
    
  • 统计检验

• 经典图形

• 参考文献

单变量极值理论

几个包导出了广义帕累托分布和广义极值分布的概率函数（分位数、密度、分布和随机生成），通常遵循经典的前缀规则（使用前缀"q"、"d"、"p"、"r"），并允许使用诸如log和lower tail之类的形式，有关详细信息，请参见视图Distributions。在小形状（接近指数）情况下，可以使用几种策略来对这些函数进行数值评估。此外，一些实现允许使用向量形式的参数，并且一些可以提供相对于参数的导数。然而，nieve包为两个EVT概率分布（GPD 和 GEV）提供符号微分，以便计算对数似然。

贝叶斯方法

• extRemes包提供贝叶斯估计。
  
• MCMC4Extremes包提出了一些函数来执行某些分布的后验估计，重点是极值分布。
• revdbayes包使用从后验分布直接随机抽样（即不使用 MCMC 方法）来提供单变量极值模型的贝叶斯分析。
  
• texmex包使用最大（可选惩罚）似然或贝叶斯估计来拟合 GPD 模型，并且这两类模型都可以使用任何/所有模型参数中的协变量进行拟合。

[^1] 模型族：广义极值分布 (1)、广义帕累托分布 (2)、非齐次泊松过程 (3)、顺序统计量/r-最大值 (4) 或自定义/其他 (*)。

[^2] 采样：随机游走 Metropolis-Hastings (RWMH)、精确采样均匀比 (RU)、独立 Metropolis-Hastings (IMH)

块最大值方法

• 包 climextRemes 提供了通过点过程拟合气候数据极值来拟合 GEV 的函数，为平稳和非平稳模型提供返回值、返回概率和返回周期。
• 包 evd 提供了广泛的单变量分布函数。建模函数允许估计标准单变量极值方法的参数。
• 包 evir 通过最大似然拟合执行单变量 GEV 分布的建模。
• 包 extRemes 为块最大值模型方法提供 EVD 单变量估计，通过 MLE 进行估计。它还通过 EVD 的参数和 L-矩估计将非平稳性纳入平稳情况下的 GEV 分布。最后，它还具有贝叶斯估计功能。一个单独的包 in2extRemes 为 extRemes 提供了一些 GUI 接口。
• 包 extremeStat 包含用于拟合包 lmomco 中提供的多种 GEV 分布类型的函数，使用线性矩来估计参数。
• 包 fExtremes 提供单变量数据处理和建模。它包括聚类、块最大值识别和探索性分析。GEV 的平稳模型估计由最大似然和概率加权矩提供。
• 包 ismev 提供了三个函数的集合来拟合 GEV（诊断图、MLE、似然轮廓），并遵循 Coles (2001) 的书。
  
• 包 lmom 具有使用低阶 L-矩将 GEV 分布拟合到数据的函数。
• 包 lmomRFA 扩展了包 lmom 并实现了使用 L-矩进行区域频率分析的所有主要组件。
• 包 QRM 提供了一个函数，从定量风险管理的角度拟合 GEV。
• 包 Renext 提供了各种函数，使用聚合标记的 POT 过程来拟合 GEV 分布。

GEV 密度函数和 GEV 拟合函数的摘要

极值指数估计方法

• 包 evd 实现了一元估计，用于极值指数估计方法。
• 包 evir 包含极值指数估计。
• 包 extRemes 也提供了 EVD 的一元估计，用于块最大值和泊松点过程方法，通过 MLE。它还通过参数纳入了非平稳性。
• 包 extremefit 提供了对帕累托型尾部阈值以上超额的建模。它计算了阈值的自适应选择。
  
• 包 ExtremeRisks 提供了风险度量，例如期望值、风险价值，用于一元独立观测和时间相关观测。统计推断通过参数和非参数估计器进行。通过利用渐近理论，可以获得置信区间、置信区域和假设检验等推断程序。
• 包 fExtremes 提供了一元数据处理和建模。它包含极值指数估计。
• 包 mev 提供了基于超额时间（Suveges (2007) 的 MLE 和迭代加权最小二乘估计器）的极值指数估计器。它提供了 Suveges 和 Davison (2010) 提出的信息矩阵检验统计量，以及极值指数的 MLE。
• 包 ReIns 提供了用于再保险视角的极值指数和拼接方法的函数。
• 包 evgam 实现了一个基于 Ferro 和 Segers (2003) 的极值指数的矩估计器。

混合分布或复合分布方法

• 包 evmix 提供了核密度估计和极值建模。它还实现了混合极值模型，并包括使用 MLE 在这些模型中选择阈值的帮助：参数化/GPD、半参数化/GPD 或非参数化/GPD。

GPD 方法的峰值超越阈值

• 包 ercv 提供了一种方法来拟合广义帕累托分布，以及一个自动阈值选择算法。
• 包 eva 提供了用于选择 r 最大阶统计量中的 r 和阈值选择的拟合优度检验。
• 包 evd 包括使用 MLE 对 GPD 方法进行单变量估计。
• 包 evir 通过最大似然拟合执行单变量 GPD 的建模。
• 包 extRemes 提供了使用 MLE 对 GPD 方法进行 EVD 单变量估计。还包括通过 EVD 参数的非平稳性以及 GPD 分布的平稳情况下的 L 矩估计。
• 包 extremeStat 包括使用线性矩拟合包 lmomco 中提供的多种 GPD 分布类型的函数。
• 包 fExtremes 包括通过最大似然和概率加权矩估计 GPD 的平稳模型。
• 包 ismev 提供了三个函数的集合来拟合 GPD（诊断图、一系列阈值上的 MLE、似然剖面），并遵循 Coles（2OO1）的书。
  
• 包 lmom 包括使用低阶 L 矩将 GPD 拟合到数据的函数。
• 包 lmomRFA 扩展了包 lmom 并实现了使用 L-矩进行区域频率分析的所有主要组件。
• 包 mev 提供了从 GPD 模拟数据的函数，以及多种方法来估计参数（优化、MLE、贝叶斯方法和 ismev 包中使用的方法）。
  
• 包 POT 提供了多种 GPD 参数估计器（MLE、L-Moments、中位数法、最小密度功率散度）。L-Moments 图和非齐次泊松过程技术的性质被用于阈值的选取。
• 包 QRM 提供了用于拟合和图形评估 GPD 拟合度的函数。
• 包 ReIns 提供了一个函数来拟合 GPD 分布以及扩展的帕累托分布。
  
• 包 Renext 提供了各种函数来使用聚合标记的 POT 过程拟合和评估 GPD 分布。
• 包 SpatialExtremes 提供了不同的方法来拟合/选择广义帕累托分布中的阈值。大多数方法基于最小化 AMSE 准则，或者至少通过减少假设的 GPD 模型的偏差来实现。
• texmex包使用最大（可选惩罚）似然或贝叶斯估计来拟合 GPD 模型，并且这两类模型都可以使用任何/所有模型参数中的协变量进行拟合。
  
• 包 NHPoisson 提供了一个函数来拟合非齐次泊松过程，用于峰值超过阈值分析。

GPD 密度函数和 GPD 拟合函数的摘要

记录模型

• RecordTest 研究了破纪录事件的分析，并提供了非平稳行为在（极端）记录中的非参数建模/检验。
• evir 仅提供一个函数 records() 用于提取记录。

回归模型

• 包 VGAM 提供了极值分析的加性建模。向量广义加性模型 (GAM) 的估计使用回溯算法进行，并采用惩罚似然函数来平滑样条。它是作者已知的唯一一个对一系列极值分析执行加性建模的包。它包括 GEV 和 GP 分布。
• 包 ismev 提供了一组函数来拟合具有解释变量的点过程（诊断图，MLE），并遵循 Coles (2001) 的书。
• texmex包使用最大（可选惩罚）似然或贝叶斯估计来拟合 GPD 模型，并且这两类模型都可以使用任何/所有模型参数中的协变量进行拟合。
  
• 包 evgam 提供了使用广义加性模型 (GAM) 形式参数拟合各种极值分布的方法。
• 包 GJRM 允许为位置、尺度和形状拟合广义平滑/加性模型（类似 GAM 的回归）。它将一些与极值分析相关的分布纳入边缘，并允许对这些分布的位置和尺度进行参数化：边缘广义帕累托、广义帕累托 II、具有正交参数化的广义帕累托、离散广义帕累托、离散广义帕累托 II、离散广义帕累托。

阈值选择

• 包 threshr 使用贝叶斯留一交叉验证方法处理阈值的选取，以便比较一组阈值产生的预测性能。
• 包 ercv 提供了一种方法来拟合广义帕累托分布，以及一个自动阈值选择算法。
• 包 POT 提供了多种 GPD 参数估计器（MLE、L-Moments、中位数法、最小密度功率散度）。L-Moments 图和非齐次泊松过程技术的性质被用于阈值的选取。

双变量极值理论

Copula 方法

• 包 copula 提供了用于探索和建模各种常用 copula 的实用程序，另请参见 Distributions 任务视图（copula 部分）。
  
• 包 fCopulae 提供了用于拟合双变量极值 copula 的实用程序。

最大值方法

• 包 evd 提供了多元分布的函数。建模函数允许估计一类双变量极值分布的参数。可以执行双变量 EVD 的参数估计和非参数估计。
• 在双变量设置中，包 extremis 中可以使用伪角度样本对谱测度进行非参数估计。

GPD 方法的峰值超越阈值

• 包 evd 使用删失似然方法实现了双变量阈值建模。
• 包 evir 中的单个多元实现是双变量阈值方法。
• 包 extremefit 提供了根据时间协变量对帕累托型尾部超过阈值的建模。它提供了一种根据协变量自适应选择阈值的方法。
• 包 POT 提供了双变量情况下 GPD 参数的估计量。

尾部相关系数方法

• 包 RTDE 实现了尾部相关系数的双变量估计。

多元极值理论

贝叶斯方法

• 包 SpatialExtremes 提供了使用贝叶斯分层模型对空间极值进行统计建模的工具（拟合、检验、选择）。
• 包 ExtremalDep 还提供了使用贝叶斯推断拟合多元极值模型的函数。

Copula 方法

• 包 SpatialExtremes 提供了函数来估计基于 copula 的空间极值模型，以及模型检验和选择。
• 包 copula 提供了用于探索和建模各种常用 copula 的实用程序。实现了极值 copula 和极值 copula 的非参数估计。另请参见 Distributions 任务视图（copula 部分）。
• 包 SimCop 具有模拟一些双变量极值分布和多元逻辑模型或 Gumbel copula 的功能。

多元最大值

• 包 lmomco 与 lmom 类似，但还实现了 L-矩估计的最新进展，包括针对删失数据的 L-矩、截断 L-矩和针对 GEV 分布的多元分析的 L-矩。
• 包 SpatialExtremes 提供了函数，可以使用成对似然或空间 GEV 模型（可能带有协变量）将最大稳定过程拟合到数据。
• 在 ExtremalDep 中提供了一组用于参数化和非参数化地对多元极值依赖结构进行建模的程序。
• 包 BMAmevt 实现了一个贝叶斯非参数模型，该模型使用跨维 Metropolis 算法根据伪角度将 Dirichlet 混合拟合到谱测度。

GPD 方法的峰值超越阈值

• 包 lmomco 还实现了针对 GPD 分布的多元 L-矩分析。
• 包 graphicalExtremes 开发了一种用于稀疏多元极值模型的统计方法。提供了用于图形结构上多元 Pareto 分布的精确模拟和统计推断的方法。

尾部相关系数方法

• 包 SpatialExtremes 提供了函数来非参数化地估计极值系数函数，以及模型检验和选择。
• 包 ExtremeRisks 提供了风险度量，例如预期值、风险价值，用于多元独立边际。
• 包 tailDepFun 提供了函数，实现了用于参数尾部依赖模型的最小距离估计方法。

统计检验

• 包 copula 包含三个最大稳定性假设检验。

经典图形

单变量极值分析的图形

多元极值分析图形

参考文献

综述论文

• L. Belzile, C. Dutang, P. Northrop, T. Opitz (2023), 极值软件建模者指南, Extremes, doi:10.1007/s10687-023-00475-9.
• E. Gilleland, M. Ribatet, A. Stephenson (2013). 极值分析软件综述, Extremes, 16, 103-119, doi:10.1007/s10687-012-0155-0.
• A.G. Stephenson, E. Gilleland (2006). 极端事件分析软件：现状和未来方向. Extremes, 8, 87–109, doi:10.1007/s10687-006-7962-0.

经典书籍

• R.-D. Reiss, M. Thomas (2007). 极值统计分析及其在保险、金融、水文和其他领域的应用, Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-7643-7399-3.
• L. de Haan, A. Ferreira (2006). 极值理论：导论, Springer-Verlag, doi:10.1007/0-387-34471-3.
• J. Beirlant, Y. Goegebeur, J. Teugels, J. Segers (2004). 极值统计：理论与应用 , John Wiley & Sons, doi:10.1002/0470012382.
• B. Finkenstaedt, H. Rootzen (2004). 金融、电信和环境中的极值 , Chapman & Hall/CRC, doi:10.1201/9780203483350.
• S. Coles (2001). 极值统计建模导论, Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4471-3675-0.
• P. Embrechts, C. Klueppelberg, T. Mikosch (1997). 保险和金融的极端事件建模, Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-642-33483-2.
• S.I. Resnick (1987). 极值、正则变化和点过程, Springer-Verlag.

科学论文

• Suveges 和 Davison (2010), 阈值之上分析中的模型错误指定. 应用统计年鉴, 4(1), 203-221.
• M. Suveges (2007). 极值指数的似然估计. 极值, 10(1), 41-55, doi:10.1007/s10687-007-0034-2.
• R.L. Smith (1987). 极值理论中的近似. 技术报告 205, 随机过程中心, 北卡罗来纳大学, 1–34.

CRAN 包

其他资源

• CRAN 任务视图: 分布
• CRAN 任务视图: 环境统计
• CRAN 任务视图: 金融